Prof. Dr. Achim Klenke
Mathematisches Institut
Universität zu Köln
Weyertal 86-90
50931 Köln
Tel. 0221 470 3364
Fax 0221 470 5020
E-Mail 'math' dann 'at' und 'aklenke' gefolgt von einem Punkt und 'de'

Seminar zur Perkolationstheorie                

Sommer 2003

Zeit:  Mittwochs 10 - 12
Ort:
Seminarraum 2
Beginn: 23. April 2003
Besprechung:  Mittwoch, 12.02.2003, 10:15, SR 2

Vorläufige Liste der Vorträge

Bild

Das Seminar wendet sich an Studierende der Mathematik, die Kenntnisse in der Wahrscheinlichkeitstheorie etwa im Umfang der "Stochastik I" oder eventuell der "Elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie" haben.

Wir betrachten ein poröses Medium, einen Bimsstein etwa, dessen Kapilaren nicht regelmäßig, sondern amorph angeordnet sind. Wird der Bimsstein komplett durchnässt, wenn man ihn in Wasser wirft, oder wird das Wasser nur in einen dünnen Bereich an der Oberfläche eindringen? Im ersten Fall sagen wir auch, dass das Wasser in den Stein einsickert, also Perkolation eintritt.
Mathematisch modellieren wir den Sachverhalt im einfachsten Fall, indem wir die Punkte im Gitter Zd als Koordinaten des Mediums betrachten. Eine Kante (Kapilare) zwischen zwei nächsten Nachbarpunkten wird unabhängig von allen anderen Kanten mit Wahrscheinlichkeit p eingebaut, mit Wahrscheinlichkeit 1-p weggelassen. Wir erhalten so einen zufälligen Graphen (Zd, E). Die Frage nach der Perkolation lautet nun in Mathematik übersetzt:
Gibt es eine unendlich große Zusammenhangskomponente im Graphen (Zd, E)?

Die Antwort hängt von dem Wert des Parameters p ab. (Klar: für p=1 und p=0 ist die Antwort trivial, dazwischen passiert etwas interessantes.) Wir interessieren uns nun für Fragen nach dem kritischen Wert, ab dem Perkolation eintritt, nach der Größe der Zusammenhangkomponenten im Bereich des Phasenübergangs zwischen Perkolation und Nicht-Perkolation und so weiter.

Die Perkolationstheorie hat in den 1980er Jahren eine rasante Entwicklung genommen und hat mittlerweile einen Reifegrad, dass es sehr gut lesbare Lehrbücher zu dem Thema gibt. Nichtsdestoweniger sind weiterhin spannende Fragen offen.

Literatur