Prof. Dr. Achim Klenke
Institut für Mathematik
Fachbereich Physik, Mathematik und Informatik
Johannes Gutenberg-Universität
Staudingerweg 9
55099 Mainz
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Fax 06131 39-20916
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Hauptseminar: Brown'sche Bewegung

Sommer 2008

Zeit: 

Do 14-16

Ort:

Raum 05-522

Beginn:

17.04.2008

Besprechung: 

07.02.08, 14ct, 05-136




Das Hauptseminar wendet sich an Studierende der Mathematik im Hauptstudium (Diplom/Master) bzw. fortgeschrittene Studierende im Bachelorstudiengang. Minimalvoraussetzung sind die Vorlesungen Einführung in die Stochastik und Stochastik I.

Der Botaniker Brown stellte im 19. Jahrhundert einen zufälligen Prozess vor, der die Bewegung eines Teilchens in einer Suspension beschreiben soll. Im Jahr 1900 benutzte Bachelier diesen Prozess zur Modellierung der Aktienkurse an der Pariser Börse. 1905 gab Einstein eine Interpretation des Prozesses als Resultat eines Bombardements von kleinsten Partikeln, die das Teilchen in seiner Position verschieben. Erst 1923 gab Wiener eine mathematisch rigorose Konstruktion des Prozesses an. Später entwickelte Ito einen Kalkül, der Integration bezüglich der Pfade der Brown'schen Bewegung erlaubte und begründete damit die stochastische Analysis. Im Jahr 2007 erhielt Wendelin Werner die Fields Medaille für seine Beiträge zu einer Theorie, die Funktionentheorie und die Brown'sche Bewegung zur Schramm Loewner Evolution (SLE) verbindet. Ohne Übertreibung kann man sagen, dass die Brown'sche Bewegung das zentrale Objekt der Wahrscheinlichkeitstheorie ist.

In ihrem neuen Buch geben Mörters und Peres eine umfassende moderne Einführung in die wichtigsten Aspekte der Brown'schen Bewegung. (Der Aspekt der stochastischen Differentialgleichungen wird dabei weitgehend ausgespart - dies ist ein Feld für sich.) Dieses Buch soll in dem Seminar gelesen werden.

Inhalte des Buches sind:

  1. Konstruktion der BB
  2. BB als starker Markovprozess
  3. Rekurrenz und Transienz
  4. Hausdorff-Dimension und Pfadeigenschaften
  5. BB und Irrfahrten (Arkussinus-Gesetz, Iterierter Logarithmus)
  6. Brown'sche Lokalzeit
  7. Stochastisches Integral
  8. Potentialtheorie
  9. Überschneidungen von Pfaden der BB
  10. Ausnahmemengen der BB (schnelle Punkte, Fraktale, Kegelpunkte)


Literatur