![[JoGu]](../../JOGUUNM1-opti.gif) |
KryptologieRotor - Mathematische Beschreibung |
|
|
KryptologieRotor - Mathematische Beschreibung |
|
Das Alphabet Σ wird wieder mit Z/nZ, den ganzen Zahlen modulo n identifiziert.
Sei ρ die monoalphabetische Substitution, die durch die Grundstellung des Rotors bewirkt wird.
In der um eine Stelle rotierten Position (siehe obiges Beispiel) wird dann die Substitution
ρ(1)(a) = ρ(a-1) + 1ausgeführt. [Dies ergibt die Zeile 1 in der Substitutionstabelle.]
Bezeichnet man mit τ die Verschiebung des Standard-Alphabets Σ = Z/nZ um 1 (also τ(a) = a+1), so wird die Formel zu
ρ(1)(a) = τρτ-1(a).
Durch Induktion folgt sofort Teil (i) von:
Satz (von den Begleitalphabeten des Rotors).
(i) Bewirkt ein Rotor in
Grundstellung die Substitution mit dem Primäralphabet ρ,
so bewirkt er in der um t Stellen rotierten Position die
Substitution mit dem konjugierten Alphabet
ρ(t) = τtρτ-t.Insbesondere sind alle Begleitalphabete vom gleichen Zykel-Typ. (ii) In der zugehörigen polyalphabetischen Substitutionstabelle enthalten die Diagonalen jeweils ein (zyklisch fortgesetztes) Standard-Alphabet. |
Der Beweis von Teil (ii) folgt direkt, wenn man die Aussage als Formel interpretiert:
ρ(i)(j) = τiρτ-i(j) = ρ(j-i) + i = ρ(i-1)(j-1) + 1.♦
Erläuterung zum »Zykel-Typ« gibt es im mathematischen Exkurs über Permutationen [PDF].
Hier gibt's ein Perl-Programm, das eine Ein-Rotor-Chiffre durchführt.