Kryptologie Rotor - Mathematische Beschreibung

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Mathematische Beschreibung eines Rotors

Das Alphabet S wird wieder mit Z/nZ, den ganzen Zahlen modulo n identifiziert.

Sei r die monoalphabetische Substitution, die durch die Grundstellung des Rotors bewirkt wird.

In der um eine Stelle rotierten Position (siehe obiges Beispiel) wird dann die Substitution

r⁽¹⁾(a) = r(a-1) + 1

Bezeichnet man mit t die Verschiebung des Standard-Alphabets S = Z/nZ um 1 (also t(a) = a+1), so wird die Formel zu

r⁽¹⁾(a) = trt^-1(a).

Durch Induktion folgt sofort Teil (i) von:

Satz (von den rotierten Alphabeten). (i) Bewirkt ein Rotor in Grundstellung die Substitution mit dem Primäralphabet r, so bewirkt er in der um t Stellen rotierten Position die Substitution mit dem Alphabet r(t) = ttrt-t. Insbesondere sind alle rotierten Alphabete vom gleichen Zykel-Typ. (ii) In der zugehörigen polyalphabetischen Substitutionstabelle enthalten die Diagonalen jeweils ein (zyklisch fortgesetztes) Standard-Alphabet.

Der Beweis von Teil (ii) folgt direkt, wenn man die Aussage als Formel interpretiert:

r⁽ⁱ⁾(j) = tⁱrt^-i(j) = r(j-i) + i = r^(i-1)(j-1) + 1.¨

Erläuterung zum »Zykel-Typ«: Jede Permutation lässt sich, eindeutig bis auf die Reihenfolge, als Produkt von disjunkten Zykeln = zyklischen Permutationen schreiben. Der Zykel-Typ ist das n-Tupel

(l₁, ..., l_n)    mit   l_i = Anzahl der Zykeln der Länge i,

[Insbesondere ist l₁ + 2l₂ + ... + nl_n = n.]

Hier gibt's ein Perl-Programm, das eine Ein-Rotor-Chiffre durchführt.

E-Mail an Pommerening@imsd.uni-mainz.de.