Kryptologie Beispiele für perfekte Sicherheit

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Trivialbeispiele

Beispiel 0: #M₀ = 1

Dieses Beispiel ist natürlich kryptologisch unsinnig, da der Kryptoanalytiker den Klartext von vornherein kennt. Also kann er durch den Geheimtext keine zusätzliche Information über den Klartext gewinnen.

Sei M₀ = {a}. Da für alle c Î C₁ trivialerweise P(a|c) = 1 = P(a) gilt, ist F, wie immer es auch definiert ist, perfekt sicher.

Beispiel 1: #M₀ = 2

Das erste sinnvolle Beispiel beinhaltet zwei mögliche Klartexte. Sei (o. B. d. A.) M₀ = M₁ = {0,1} = C = K. Sei f₀ die identische Abbildung auf {0,1} und f₁ die Vertauschung von 0 und 1. Ferner seien die beiden Schlüssel 0 und 1 gleichwahrscheinlich: P(0) = P(1) = ½.

Dann ist K₀₀ = K₁₁ = {0}, K₀₁ = K₁₀ = {1}. Daher ist F nach Satz 2 perfekt sicher.

Die Verschiebechiffre

Hier ist M₀ = K = C eine Gruppe und F: M₀ × K ® C die Gruppenoperation, also f_k(a) = a*k.

Die Mengen K_ac = {kÎK | a*k = c} = {a^-1*c} sind alle einelementig.

Wird wie üblich P(k) = 1/#K für alle Schlüssel kÎK angenommen, so ist F perfekt sicher.

Die Beispiele 0 und 1 oben waren die Spezialfälle der ein- und zweielementigen Gruppe. Weitere Spezialfälle folgen als Beispiele 2 - 4.

Beispiel 2: Die CAESAR-Chiffre

Das ist die Verschiebechiffre auf der zyklischen Gruppe S = Z/nZ der Ordnung n.

Also ist die CAESAR-Chiffre perfekt sicher, sofern nur Nachrichten der Länge 1 verschlüsselt werden und der Schlüssel für jede Nachricht zufällig neu gewählt wird.

Beispiel 3: Die VERNAM-Chiffre

Das ist die Verschiebechiffre auf der Gruppe S^r mit S = Z/nZ.

Nachrichten sind also Texte der Länge r und Schlüssel zufällig gewählte Buchstabenfolge der Länge r.

Da man insbesondere den Schlüssel für jede Nachricht neu wählen muss, heisst diese Chiffre auch One Time Pad. Man stellt sich einen Abreisskalender vor: Jedes Blatt enthält einen zufälligen Buchstaben und wird nach Verwendung abgerissen und vernichtet.

Die VERNAM-Chiffre ist der Prototyp einer perfekten Chiffre.

Im Spezialfall S = {0,1} erhält man die binäre VERNAM-Chiffre, die Bitstrom-Verschlüsselung mit völlig zufälliger Schlüsselbitfolge.

Gegenbeispiel: Die monoalphabetische Chiffre

Hier wird M₀ = C = S^r gewählt und K = S(S).

Etwa für r = 5 haben wir schon gesehen, dass

P(bauer|XTJJA) = 0 < q = P(bauer).

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