# # Stochastik-Praktikum, WS 2020/2021, JGU Mainz # 7.12.2020 ## ############################################################################## ## heute: ## ## Simulation von ZVn mit vorgegebener ## Verteilung mittels Verwerfungsmethode ## ("Rejection sampling") ## ## ############################################################################## ##################################################### ## ## Simulation mittels Verwerfungsmethode (rejection sampling) # Zugrundeliegende Theorie # (wir betrachten der Einfachheit halber hier den diskreten Fall): # E endliche Menge, f(x), g(x) für x aus E Wahrscheinlichkeitsgewichte, # es gelte f(x)/g(x) <= C für eine Konstante C und # X sei gemäß den Gewichten g verteilt (d.h. P(X=x)=g(x)) und wir # nehmen an, wir besitzen einen Simulationsalgorithmus für X. # Sei U unabhängig von X, uniform auf [0,1] verteilt. # Generiere einen Zufallswert Y folgendermaßen: # Simuliere ein Paar (X, U) (unabhängig), # falls U <= f(X)/(C*g(X)), akzeptiere diesen Wert und setze Y:=X, # ansonsten simuliere ein neues, unabhängiges Paar (X,U), etc. # Warum funktioniert dieses Verfahren? # Es ist P(X=x, U <= f(X)/(C*g(X))) = g(x) P(U <= f(x)/(C*g(x))) # = (g(x) f(x))/(C g(x)) = f(x)/C, also # P(U <= f(X)/(C*g(X))) = \sum_x P(X=x, U <= f(X)/(C*g(X))) = 1/C # und folglich # P(Y=x) = P(X=x, U <= f(X)/(C*g(X)) | U <= f(X)/(C*g(X))) = f(x). # Wir sehen zugleich: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Vorschlag # erfolgreich ist, ist P(U <= f(X)/(C*g(X))=1/C, d.h. wir # müssen geometrisch mit Erfolgsparameter 1/C oft vorschlagen, # und die Methode ist umso effizienter, je näher C an 1 liegt, d.h. # je ähnlicher f und g sich sind. # # Bem.: # 1. Im kontinuierlichen Fall gilt ein analoges Argument, in dem # die Wahrscheinlichkeitsgewichte durch Wahrscheinlichkeitsdichten # ersetzt werden. # 2. Wir sehen: Es kommt in obigem Argument nicht darauf an, dass # f(x) Wahrscheinlichkeitsgewichte sind, sondern nur, dass # f(x) >= 0 und \sum_x f(x) endlich: # Sei \sum_x f(x) = K != 1, so finden wir # P(U <= f(X)/(C*g(X))) = K/C und somit hat Y die # (Wahrscheinlichkeits-)Gewichte f(x)/K. # Beispiel: Ziehen ohne Zurücklegen via Ziehen mit Zurücklegen simulieren, # d.h. aus einem Zufallsgenerator für die Binomialverteilung einen # für die hypergeometrische Verteilung bauen. # M weiße, N schwarze Kugeln in Urne, ziehe n ohne Zurücklegen, # beobachte, wieviele weiße Kugeln in der Stichprobe M <- 30; N <- 20; n <- 15 p <- M/(M+N) # Die Gewichte wären: #dhyper(0:n, M, N, n) #dbinom(0:n, n, p) C <- max(dhyper(0:n, M, N, n)/dbinom(0:n, n, p)) C sim.hypgeom.VM <- function() { repeat { x <- rbinom(1, n, p) u <- runif(1) if (u <= dhyper(x, M, N, n)/(C*dbinom(x, n, p))) break } x } # Überzeugen wir uns, dass das funktioniert: wdh <- 10000 beob <- replicate(wdh, sim.hypgeom.VM()) # zunächst per Auge: hi <- hist(beob, breaks=0:(n+1)-0.5, prob=T, main="Empir. Häufigkeiten der Ergebn. d. Verwerfungsroutine") points(0:n, dhyper(0:n, M, N, n), col="red") ## Bem./Vorgriff: Ein statistisches Standard-Verfahren, um zu ## prüfen, ob die simulierten Werte tatsächlich aus der ## behaupteten hypergeometrischen Verteilung stammen, ist ## der chi^2-Test: chisq.test(hi$counts, p=dhyper(0:n, M, N, n)) ## und falls wir der chi^2-Approximation hier nicht trauen: chisq.test(hi$counts, p=dhyper(0:n, M, N, n), simulate.p.value=T, B=500) # Das gibt jedenfalls keinen Grund, an der Verwerfungsmethode zu zweifeln. # # Ein kontinuierliches Beispiel: # Beta-Verteilung (mit Parametern a, b >= 1) aus einem # unif([0,1])-verteilten Vorschlag generieren # Die Beta(a,b)-Verteilung (a, b > 0) hat Dichte # B(a,b) x^(a-1)*(1-x)^(b-1) auf [0, 1], wo # B(a,b) = gamma(a+b)/(gamma(a)*gamma(b)) ("Beta-Funktion", s.a. ?beta) a <- 1.5; b <- 2 curve(x^(a-1)*(1-x)^(b-1), xlim=c(0,1)) # nimmt ihr Maximum bei x=(a-1)/(a+b-2), # wie man leicht durch Ableiten prüft abline(v=(a-1)/(a+b-2), col="blue") dbeta.unnorm <- function(x) x^(a-1)*(1-x)^(b-1) C <- dbeta.unnorm((a-1)/(a+b-2))/1 sim.beta.VM0 <- function() { repeat { x <- runif(1); u <- runif(1) if (u <= dbeta.unnorm(x)/C) # bemerke: Es genügt, die "Zieldichte" # bis auf Normierung zu kennen break } x } # Überzeugen wir uns wiederum, dass das funktioniert: wdh <- 10000 beob <- replicate(wdh, sim.beta.VM0()) # zunächst per Auge: klassen <- seq(from=0, to=1, by=0.05) hi <- hist(beob, breaks=klassen, prob=T, main="Empir. Häufigkeiten der Ergebn. d. Verwerfungsroutine") curve(dbeta(x,a,b), add=T, col="red") klassengewichte <- (pbeta(klassen[-1],a,b)-pbeta(klassen[-length(klassen)],a,b)) points(hi$mids, klassengewichte/(klassen[-1]-klassen[-length(klassen)]), col="blue") # und per chi^2-Test: chisq.test(hi$counts, p=klassengewichte) # und falls wir der chi^2-Approximation hier nicht trauten: chisq.test(hi$counts, p=klassengewichte, simulate.p.value=T, B=500) # # Beta-Verteilung (mit Parametern 0 1) aus einem # Beta(a,1)-Vorschlag gewinnen # (Beta(a,1) hat Dichte a x^(a-1) auf [0,1], also Verteilungsfunktion # F(x)=x^a und inverse Vert.fkt. F^{-1}(y)=y^(1/a) (für y in [0,1])) a <- 0.4; b <- 2 curve(x^(a-1)*(1-x)^(b-1), xlim=c(0.001,1), ylim=c(0,20)) dbeta.unnorm <- function(x) x^(a-1)*(1-x)^(b-1) quotient <- function(x) (1-x)^(b-1) # dies ist (bis auf Normierug) # die Beta(a,b)-Dichte geteilt durch # die Beta(a,1)-Dichte C <- 1 sim.beta.VM1 <- function() { repeat { x <- (runif(1))^(1/a) # dies ist Beta(a,1)-verteilt: # Methode der Inversion der Verteilungsfunktion u <- runif(1) if (u <= quotient(x)/C) # bemerke: Es genügt, die "Zieldichte" # bis auf Normierung zu kennen break } x } # Überzeugen wir uns wiederum, dass das funktioniert: wdh <- 10000 beob <- replicate(wdh, sim.beta.VM1()) # zunächst per Auge: klassen <- seq(from=0, to=1, by=0.05) hi <- hist(beob, breaks=klassen, prob=T, main="Empir. Häufigkeiten der Ergebn. d. Verwerfungsroutine") curve(dbeta(x,a,b), add=T, col="red") klassengewichte <- (pbeta(klassen[-1],a,b)-pbeta(klassen[-length(klassen)],a,b)) points(hi$mids, klassengewichte/(klassen[-1]-klassen[-length(klassen)]), col="blue") # und per chi^2-Test: chisq.test(hi$counts, p=klassengewichte) # und falls wir der chi^2-Approximation hier nicht trauten: chisq.test(hi$counts, p=klassengewichte, simulate.p.value=T, B=500) ## ######################################################### # # Verwerfungsmethode und Zerlegung des Wertebereichs: # # Sei f gewünschte "Ziel-Dichte" (bzw. -Gewichte). # Annahme: Wir können den Wertebereich in disjunkte Teile B1, B2 zerlegen # und können X1 mit Werten in B1 mit Dichte g1 bzw. # X2 mit Werten in B2 mit Dichte g2 simulieren, und es gilt # f(x)/g1(x) <= C1 für x in B1, f(x)/g2(x) <= C2 für x in B2. # Verfahren: # Wähle I=1 mit W'keit C1/(C1+C2), I=2 mit W'keit C2/(C1+C2) # Wenn I=1: Simuliere (X1,U), akzeptiere Y:=X1, wenn U <= f(X)/(C1*g1(X)), # sonst beginne das Verfahren komplett neu, # analog wenn I=2: Simuliere (X2,U), akzeptiere # Y:=X2, wenn U <= f(X)/(C2*g2(X)), etc. # # Man kann analog zu obigem Argument im "unzerteilten Fall" zeigen, # dass Y die Verteilung(sgewichte|dichte) f hat. # Ein entsprechend angepasstes Verfahren erlaubt, den Raum in mehr # als 2 Stücke zu zerlegen. # Beispiel: Gamma-Verteilung mit Formparameter ga < 1. # (Dichte ist x^(ga-1)*exp(-x)/gamma(ga).) ga <- 0.45 curve(x^(ga-1)*exp(-x), xlim=c(0,3), ylim=c(0,5), n=1000) abline(v=1, lty=2) curve(x^(ga-1), xlim=c(0.001,1), add=T, col="red") curve(exp(-x), xlim=c(1,5), add=T, col="blue") # Wir benutzen links der 1 als Vorschlagsverteilung Beta(ga, 1), # rechts der 1 eine um 1 verschobene Exp(1): ga.dichte.unnormiert <- function(x) x^(ga-1)*exp(-x) vorschl.dichte1 <- function(x) ga*x^(ga-1) C1 <- 1/ga # ga.dichte.unnormiert/vorschl.dichte1 ist <= 1/ga auf (0,1] vorschl.dichte2 <- function(x) exp(x-1) C2 <- exp(-1) # ga.dichte.unnormiert/vorschl.dichte2 ist <= 1/e auf (1,\infty) sim.gamma.VM <- function() { repeat { if (runif(1) <=C1/(C1+C2)) { x <- (runif(1))^(1/ga) # dies ist Beta(ga,1)-verteilt: u <- runif(1) if (u <= ga.dichte.unnormiert(x)/(C1*vorschl.dichte1(x))) break } else { x <- -log(runif(1))+1 # dies ist eine um 1 nach rechts verschobene Exp(1) u <- runif(1) if (u <= ga.dichte.unnormiert(x)/(C2*vorschl.dichte2(x))) break } } x } # Überzeugen wir uns wiederum, dass das funktioniert: wdh <- 10000 beob <- replicate(wdh, sim.gamma.VM()) # zunächst per Auge: klassen <- seq(from=0, to=max(beob)+0.1, by=0.05) hi <- hist(beob, breaks=klassen, prob=T, main="Empir. Häufigkeiten der Ergebn. d. Verwerfungsroutine") curve(dgamma(x,shape=ga), add=T, col="red") klassengewichte <- (pgamma(klassen[-1],shape=ga)-pgamma(klassen[-length(klassen)],shape=ga)) points(hi$mids, klassengewichte/(klassen[-1]-klassen[-length(klassen)]), col="blue")