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Prof. Dr. A. Klenke, JGU

Hauptseminar (M.Sc.): Irrfahrten auf zufälligen Graphen

Sommersemester 2023

Das Seminar richtet sich an Studierende in den Studiengängen Master of Science und Master of Education, die bereits die Stochastik II gehört haben.

Auf vielfältige Weise lassen sich zufällige Teilgraphen des d-dimensionalen Zahlengitters erstellen. Beispielsweise durch unabhängiges Entfernen von Kanten (Perkolation) oder durch gezieltes zufälliges Entfernen von Kanten derart, dass ein Spannbaum entsteht. Die Untersuchung derartiger zufälliger Medien spielt in der statistischen Physik eine wichtige Rolle.

Wir befassen uns in diesem Hauptseminar mit Irrfahrten auf solchen Graphen, die eine Drift in eine gewisse Vorzugsrichtung haben. Wächst die asymptotische Geschwindigkeit mit der Drift? Sind die Fluktuationen normalverteilt? Welche Grenzwertsätze gelten für das ballistische Regime ohne zweite Momente?

Um die Fragestellung handhabbar zu machen, betrachten wir beispielsweise Spannbäume eines linearen Teilgraphen des zweidimensionalen Gitters und bestimmen dort die Geschwindigkeit explizit, bestimmen das Regime, in dem ein zentraler Grenzwertsatz gilt, und weisen für die Varianz die Gültigkeit der Einstein-Relation nach.

Literatur

• N. Gantert und A. Klenke, The Tail of the Length of an Excursion in a Trap of Random Size, Journal of Statistical Physics 188:27 (2022)
• N. Gantert und A. Klenke, Biased Random Walk on Spanning Trees of the Ladder Graph, http://arxiv.org/abs/2210.07859
• N. Gantert, M. Meiners und S. Müller. Regularity of the speed of biased random walk in a one-dimensional percolation model. J. Stat. Phys., 170(6):1123–1160, 2018
• Berger, N. Gantert, and Y. Peres. The speed of biased random walk on percolation clusters. Probability Theory and Related Fields, 126(2):221–242, 2003.
• V. Betz, M. Meiners, and I. Tomic. Speed function for biased random walks with traps. Statist. Probab. Lett., 195:Paper No. 109765, 2023.

ak 15.01.2023