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Das Hauptseminar richtet sich an Studierende im Masterstudiengang Mathematik, die bereits die Vorlesungen Einführung in die Stochastik, Stochastik I gehört haben.
An jedem Punkt des d-dimensionalen Zahlengitters sitzt ein Individuum, das eine von zwei Meinungen haben kann. Sagen wir 0 oder 1. Nach einer zufälligen Wartezeit vergisst ein Individuum seine Meinung und übernimmt stattdessen die Meinung eines zufällig gewählten Nachbarn. Danach wartet das Individuum erneut eine zufällige Wartezeit, bis es wiederum die Meinung eines zufälligen Nachbarn übernimmt und so fort. Alle Individuum verfahren so mit unabhängigen Wartezeiten und unabhängiger Auswahl des Nachbarn. Dies ist das sogenannte Wählermodell (voter model).
Dieses Wählermodell ist einerseits sehr einfach, andererseits zeigt es in vielerlei Hinsicht ein sehr komplexes Verhalten. Aus diesem Grunde ist das Wählermodell eines der zentralen Modelle der Theorie zufälliger wechselwirkender Teilchensysteme.
In diesem Seminar sollen anhand von Originalliteratur die folgenden Aspekte untersucht werden:
Wie lässt sich das Wählermodell mathematisch rigoros definieren? Wie sieht das Langzeitverhalten in niedriger Dimension (bis zwei) und hoher (ab drei) Dimension aus? Bilden sich Cluster gleicher Meinung? Wie groß sind diese?
Wie ändert sich das Langzeitverhalten, wenn man das Wählermodell auf einen großen (ganzzahligen) Torus definiert, statt auf dem unendlichen Zahlengitter? In welchen Zeitskalen „bemerkt“ das System die Endlichkeit und wie äußert sich sie quantitativ?
Wird die Wechselwirkung auch mit weiter entfernten Nachbarn erlaubt und der Raum geeignet reskaliert, so lässt sich unter gewissen Annahmen die Konvergenz gegen ein Modell im kontinuierlichen Raum zeigen. In einer Dimension hat das reskalierte Limesmodell die Gestalt einer stochastischen partiellen Differentialgleichung.
In höherer Dimension lässt sich die Konvergenz gegen die sogenannte Super-Brown’sche Bewegung zeigen, einen maßwertigen Diffusionsprozess.
Wie lässt sich die Konvergenz gegen die Super-Brown’sche Bewegung auch für nahe Verwandte des Wählermodells zeigen?
Literatur
J.T. Cox: Coalescing random walks and voter model consensus times on the torus in Zd, Ann. Probab. 17(4), 1333-1366 (1989).
J.T. Cox, R. Durrett, E.A. Perkins. Rescaled voter models converge to super-Brownian motion. Ann Probab. 28(1). 185-234, 2000.
J.T. Cox, D. Griffeath: Diffusive clustering in the two-dimensional voter model, Ann. Probab. 14(2), 347—370 (1986).
J.T. Cox, A. Klenke: Rescaled Interacting Diffusions converge to Super Brownian Motion, Annals of Applied Probability Vol 13(2), 501-514, (2003)
R. Durrett, Lecture Notes on Particle Systems and Percolation, Wadsworth (1988). Liegt im Sekretariat aus.
C. Mueller, R. Tribe. Stochastic P.D.E’s arising from the long range contact and long range voter processes. Probab. Theory Related Fields, 102(4):519–545, 1995.
T.M. Liggett. Interacting Particle Systems, Springer Verlag (1985)
J.T. Cox: Coalescing random walks and voter model consensus times on the torus in Zd, Ann. Probab. 17(4), 1333-1366 (1989).
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J.T. Cox, D. Griffeath: Diffusive clustering in the two-dimensional voter model, Ann. Probab. 14(2), 347—370 (1986).
J.T. Cox, A. Klenke: Rescaled Interacting Diffusions converge to Super Brownian Motion, Annals of Applied Probability Vol 13(2), 501-514, (2003)
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