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Prof. Dr. A. Klenke, JGU

Hauptseminar (M.Ed./B.Sc.): Poissonprozesse

Wintersemester 2022/23

Das Seminar richtet sich an Studierende im Bachelorstudiengang (Science) oder Masterstudiengang (Education Mathematik), die bereits die Vorlesung Einführung in die Stochastik gehört haben.

Auf dem Pflaster bilden die Regentropfen ein zufälliges Muster. Das theoretische Modell dazu ist der Poisson’sche Punktprozess, der in diesem Seminar untersucht werden soll.

Dabei geht es zunächst um den Poissonprozess in einer eindimensionalen Situation, in der die Lücken zwischen den Punkten als Wartezeiten interpretiert werden können. Danach wird der Poissonprozess in der Ebenen oder sogar in völlig allgemeinen Räumen konstruiert und untersucht. Wie groß ist etwa die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Bereich gar nicht getroffen wird? Wie lassen sich Poissonprozesse überlagern (rote und grüne Regentropfen zum Beispiel)?

Poissonprozesse spielen eine wichtige Rolle in der stochatischen Geometrie. Verbinden wir etwa nahegelegene Regentropfen mit Linien, so erhalten wir eine Triangularisierung der Ebene. Welche Eigenschaften hat diese?

Poissonprozesse werden aber auch in der theoretischen Biologie gebraucht, zum Beispiel zur Untersuchung der Häufigkeit von Merkmalsausprägungen. Hier kommt die sogenannte Poisson-Dirichlet Verteilung ins Spiel.

Literatur

• J.F.C. Kingman: Poisson Processes, Oxford Science Publications, 1993. Kopiervorlage im Sekretariat.
• G. Last und M. Penrose: Lectures on the Poisson Process, IMS Textbooks, Cambridge University Press, 2017 (online verfügbar).

ak 30.06.2022