Vorlesung: Brown'sche Bewegung

Winter 2020/21

Zeit:  Di, Do 10-12
Ort: Voraussichtlich online (sonst Raum 05-136), Details stehen hier ab Mitte Oktober
Modul: Ergänzungsmodul Stochastik

Die Vorlesung wendet sich an Studierende der Mathematik (Master). Minimalvoraussetzung sind die Vorlesungen Einführung in die Stochastik und Stochastik I.

Der Botaniker Brown stellte im 19. Jahrhundert einen zufälligen Prozess vor, der die Bewegung eines Teilchens in einer Suspension beschreiben soll. Im Jahr 1900 benutzte Bachelier diesen Prozess zur Modellierung der Aktienkurse an der Pariser Börse. 1905 gab Einstein eine Interpretation des Prozesses als Resultat eines Bombardements von kleinsten Partikeln, die das Teilchen in seiner Position verschieben. Erst 1923 gab Wiener eine mathematisch rigorose Konstruktion des Prozesses an. Später entwickelte Itô einen Kalkül, der Integration bezüglich der Pfade der Brown'schen Bewegung erlaubte und begründete damit die stochastische Analysis. Im Jahr 2007 erhielt Wendelin Werner die Fields Medaille für seine Beiträge zu einer Theorie, die Funktionentheorie und die Brown'sche Bewegung zur Schramm Loewner Evolution (SLE) verbindet. Ohne Übertreibung kann man sagen, dass die Brown'sche Bewegung das zentrale Objekt der Wahrscheinlichkeitstheorie ist.


Diese Vorlesung ist keine Vorlesung zur stochastischen Analysis, wie sie etwa in den vergangenen Semestern in Mainz angeboten wurden. Es geht nicht um stochastische Differentialgleichungen und nicht vorrangig um das Itô-Integral. Vielmehr steht die Brown’sche Bewegung selber mit ihren vielen faszinierenden Eigenschaften im Zentrum der Betrachtungen. So geht es etwa um die Hausdorff Dimension des Pfades der Brown’schen Bewegung, um die Frage, ob der Pfad Mehrfachpunkte hat (d>3: nein, d=3: Doppelpunkte, d=2: Mehrfachpunkte jeder Multiplizität, auch überabzählbarer Multiplizität), wie sich diejenigen Mengen charakterisieren lassen, die von der Brown’schen Bewegung getroffen werden etc.

Je nachdem, wie viel Zeit bleibt, werden im zweiten Teil der Vorlesung weitere stochastische Prozesse vorgestellt, etwa Lévy Prozesse, Fragmentierungsprozesse oder wechselwirkende Systeme.


Literatur