Vorlesung: Brown'sche Bewegung
Winter 2020/21
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Di, Do 10:15 - 11:45
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Die Vorlesung findet online per zoom statt. Die angemeldeten Teilnehmerinnen und Teilnehmer bekommen einen Link zugesandt.
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Ergänzungsmodul Stochastik |
Die Vorlesung wendet sich an Studierende der Mathematik (Master).
Minimalvoraussetzung sind die Vorlesungen Einführung in die Stochastik und
Stochastik I.
Der Botaniker Brown stellte im 19. Jahrhundert einen zufälligen Prozess vor,
der die Bewegung eines Teilchens in einer Suspension beschreiben soll. Im Jahr
1900 benutzte Bachelier diesen Prozess zur
Modellierung der Aktienkurse an der Pariser Börse. 1905 gab Einstein eine
Interpretation des Prozesses als Resultat eines Bombardements von kleinsten
Partikeln, die das Teilchen in seiner Position verschieben. Erst 1923 gab
Wiener eine mathematisch rigorose Konstruktion des Prozesses an. Später
entwickelte Itô einen Kalkül, der Integration bezüglich der Pfade der
Brown'schen Bewegung erlaubte und begründete damit die stochastische Analysis.
Im Jahr 2007 erhielt Wendelin Werner die Fields Medaille für seine Beiträge zu
einer Theorie, die Funktionentheorie und die Brown'sche Bewegung zur Schramm Loewner Evolution (SLE) verbindet. Ohne Übertreibung kann
man sagen, dass die Brown'sche Bewegung das zentrale Objekt der
Wahrscheinlichkeitstheorie ist.
Diese Vorlesung ist keine Vorlesung zur stochastischen Analysis, wie sie etwa
in den vergangenen Semestern in Mainz angeboten wurden. Es geht nicht um
stochastische Differentialgleichungen und nicht vorrangig um das Itô-Integral.
Vielmehr steht die Brown’sche Bewegung selber mit ihren vielen faszinierenden
Eigenschaften im Zentrum der Betrachtungen. So geht es etwa um die Hausdorff Dimension des Pfades der Brown’schen Bewegung, um
die Frage, ob der Pfad Mehrfachpunkte hat (d>3: nein, d=3: Doppelpunkte,
d=2: Mehrfachpunkte jeder Multiplizität, auch
überabzählbarer Multiplizität), wie sich diejenigen
Mengen charakterisieren lassen, die von der Brown’schen Bewegung getroffen
werden etc.
Je nachdem, wie viel Zeit bleibt, werden im zweiten Teil der Vorlesung
weitere stochastische Prozesse vorgestellt, etwa Lévy Prozesse,
Fragmentierungsprozesse oder wechselwirkende Systeme.
Literatur
- Mörters und Peres: Brownian
motion, Cambridge University Press.