Stochastik II
Winter 2022/23
| Zeit: |
Di, Do 10-12
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| Ort:
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05-136
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| Beginn: |
25.10.2022 |
Klausur:
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erst Sommer 2023 als Abschluss des Vertiefungsmoduls
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Die Vorlesung wendet sich an Studierende der Fachrichtung
Mathematik. Sie ist inhaltlich der dritte Teil eines dreisemestrigen Kurses. Zusammen
mit den ersten beiden Teilen (Einführung in die Stochastik, Stochastik I)
vermittelt sie die Kenntnisse in Wahrscheinlichkeitstheorie, die jeder
Studierende zum Diplom oder Master in Mathematik haben sollte.
Formal ist sie der erste Teil des Vertiefungsmoduls STO-002, der im
darauffolgenden Semester mit einer weiterführenden Vorlesung in Stochastik und
einem optionalen Hauptseminar fortgesetzt wird.
Die Wahrscheinlichkeitstheorie beschäftigt sich mit der quantitativen
Betrachtung aller Phänomene, bei denen Zufall eine Rolle spielt. Zu
Fermats Zeiten betraf dies hauptsächlich Glückspiele -
heute sind Fragestellungen aus der statistischen Physik, der Biologie, der
Finanzmathematik, der Statistik und so weiter in
der
Vordergrund gerückt.
Im ersten Teil wurden Grundkenntnisse in der Stochastik vermittelt, in einem im
wesentlichen maßtheoriefreien Rahmen. Im zweiten Teil
wurde der Apparat der Maßtheorie entwickelt, im
wesentlichen
soweit wie er für die Wahrscheinlichkeitstheorie notwendig ist.
In der Stochastik II werden Martingale eingeführt und
systematisch untersucht, insbesondere werden die Optional Stopping
Sätze, Martingalkonvergenzsätze betrachtet. Wir
entwickeln die Theorie der charakteristischen Funktionen (Fouriertransformation),
leiten so den Zentralen Grenzwertsatz in der Form von Lindeberg her und
betrachten unbegrenzt teilbare und stabile Verteilungen. Über die Konstruktion
von Produkträumen und den Satz über projektive
Limiten stellen wir stochastische Prozesse mit allgemeiner Zeitmenge her. Als
Anwendung dieser allgemeinen Methode lernen wir die grundlegenden Begriffe der Ergodentheorie kennen.
Literatur
- Bauer: Maß- und
Integrationstheorie, de Gruyter
- Billingsley:
Probability
- Breiman:
Probability
- Durrett: Probability: Theory and
Examples
- Elstrodt:
Maß- und Integrationstheorie
- Felller, An introduction to
probability theory and its applications, Band 1 und Band 2.
- Georgii:
Stochastik
- Karatzas und Shreve: Brownian motion
and stochastic calculus
- Keller: Wahrscheinlichkeitstheorie,
Vorlesungsskript Erlangen.
- Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie,
Springer Verlag, 4. Auflage, 2020.
- Shiryaev:
Probability
a.k. 30.06.2022