Kryptologie Anwendungen der Mathematik nach Fachgebiet geordnet

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Mengenlehre

• Alphabete und Sprachen
  • Mathematisches Modell der Chiffrierung
• Rekursionsformeln
  • Perioden von einfachen Rekursionen
• Kategorien (nicht explizit)
  • Ähnlichkeit von Chiffren

Algebra

• Endliche Körper
  • Primkörper
  • XOR-Chiffrierung, auch hier.
  • Bitblock-Chiffren
  • Polynome über endlichen Körpern
  • Algebraische Normalform BOOLEscher Funktionen, siehe auch hier
  • BOOLEsche Abbildungen [Beispiele, Beispiele, Beispiele und Konstruktionsmethoden]
  • Potenz-Abbildungen, auch: Spur einer Körper-Erweiterung, FROBENIUS-Automorphismus, Normalbasen, zugehörige Grundlagen hier
  • Körper mit 2⁸ Elementen
  • Zyklizität der multiplikativen Gruppe
  • Einheitswurzeln
  • Diskreter Logarithmus
    • Anwendung
    • Komplexität
    • Pseudozufallsgenerator
  • Quadratwurzeln
  • Primitivwurzeln
• Ringe
  • Homomorphiesatz, auch hier
  • voller Quotientenring
• Halbgruppen
  • Unter-Halbgruppen endlicher Gruppen
  • Potenzieren in Halbgruppen
  • Homomorphismus
  • Unabhängigkeit der Charaktere
• Gruppen
  • Ordnung und Exponent:
    • CARMICHAEL-Funktion
    • RSA-Iteration
    • Quadratwurzeln
  • Untergruppen, auch hier
  • Homomorphismus und Homomorphiesatz:
    • Faktorisierung von RSA-Moduln
    • RSA-Iteration
    • diskreter Logarithmus
  • Gruppen-Operationen, Bahnen und Stabilisatoren, siehe auch hier
  • Gruppenoperationen auf BOOLEschen Abbildungen
  • Verschiebechiffren
  • Die Anzahl invertierbarer Matrizen über Restklassenringen (ohne Beweis)
  • FEISTEL-Schema
  • Betriebsarten von Blockchiffren
• Permutationsgruppen
  • Die monoalphabetische Substitution (symmetrische Gruppe)
  • Zylinder-Chiffriergeräte (zyklische Permutationen)
  • Rotoren (Konjugation und Zykaelzerlegung)
  • Anzahl von Involutionen
  • Kryptoanalyse von Rotor-Maschinen (Zykel-Zerlegung)
  • Erzeugung der symmetrischen Gruppe (durch zwei zufällige Elemente, ohne Beweis)
  • Gerade Permutationen
• Lineare Algebra
  • Interpolations-Polynome
  • Binäre Vektorräume, BOOLEsche Linearformen
  • Lineare Schieberegister, siehe auch:
    • statistische Eigenschaften
    • Vorhersage
    • lineare Komplexität
    • Rückkopplungspolynom
    • BERLEKAMP-MASSEY-Algorithmus
  • Begleitmatrix, siehe auch hier.
  • Minimalpolynom und charakteristisches Polynom
  • Rang
• Lineare Algebra über Ringen
  • Algebraische Kryptoanalyse von Autokey-Chiffren
  • Permutationsmatrizen
  • Matrizen über Ringen
  • Ganzzahlige Elimination
    • Beispiel
    • Anwendung
  • Die HILL-Chiffre
  • Die Anzahl invertierbarer Matrizen über Restklassenringen
  • Die Kryptoanalyse der HILL-Chiffre
  • Allgemeiner linearer Zufallsgenerator, siehe auch hier.
  • NOETHERsche Moduln.
  • nächster Gitterpunkt (implizit).
• Polynome und Gleichungssysteme
  • Algebraische Kryptoanalyse
    • Beispiele
    • Bedingungen
    • AES
  • Binäre quadratische Formen
  • Differenzenfunktion
  • Quadratische Gleichungen in Charakteristik 2
    • Anwendungen
  • Relinearisierung überdefinierter Gleichungssysteme
  • NEWTONsches Interpolationsverfahren
  • Diskriminante
  • primitives Polynom
    • Beispiel

Zahlentheorie

• Primzerlegung elementar
  • Kasiski-Analyse
  • Perioden von Schlüsselerzeugern
• Primzahlen
  • Der Primzahlsatz
  • GERMAIN-Primzahlen, auch hier
  • Primzahltests
  • Anwendung, auch hier und hier
  • Konstruktion zufälliger Primzahlen
• Faktorisierung
  • Faktorisierung und Phi-Funktion
  • Äquivalente Probleme
  • BLUM-Zahlen
    • Anwendung
    • BBS-Generator
• Teilbarkeit und Restklassen
  • Der EUKLIDische Algorithmus
  • Anwendung (Vorhersage von Kongruenzgeneratoren)
  • MERSENNE-Zahlen
  • Kongruenz-Division
    • Anwendung (ElGamal-Chiffre)
    • Anwendung (Vorhersage von Kongruenzgeneratoren) mit C-Programm
  • Kleiner Satz von FERMAT, Anwendungen:
    • Pseudoprimzahltest
    • AKS-Primzahltest
    • Periode von Kongruenzgeneratoren
  • Chinesischer Restsatz
  • Multiplikative Gruppe eines Restklassenrings
  • Anwendung
  • Struktur
  • Die EULERsche Phi-Funktion
    • Komplexität
    • Anwendung (Wahrscheinlichkeit der Faktorisierung bei RSA-Analyse)
    • Anwendung (Iterationsangriff auf RSA)
    • Anwendung (strenger Pseudoprimzahltest)
  • Die CARMICHAEL-Funktion, Satz von EULER
    • Komplexität der CARMICHAEL-Funktion
    • Anwendung (Iterationsangriff auf RSA)
    • Anwendung (Brechen von RSA)
    • CARMICHAEL-Zahlen, auch hier
    • Geschichte und Periode multiplikativer Kongruenzgeneratoren
  • HENSEL-Lift (Erwähnung), auch hier
  • Primitive Elemente
    • Anwendung (Periode multiplikativer Kongruenzgeneratoren)
• Quadratreste
  • Reziprozitätsgesetz
  • Anwendung
  • Quadratwurzeln für Primmoduln, Primpotenz-Moduln, zusammengesetzte Moduln
  • Quadratische Nichtreste
    • Anwendung
    • Komplexität
  • Quadratrest-Vermutung
    • Anwendung auf Pseudozufallsfolgen, siehe auch hier
• Additive Zahlentheorie
  • Additionsketten
  • FIBONACCI-Zahlen
  • LUCAS-Folge
  • Einfache Rekursionsfolgen
  • Rucksack-Problem
    • NP-Vollständigkeit
    • Pseudozufallsgenerator
• Exponentialsummen
  • WALSH- und FOURIER-Transformation
  • KLOOSTERMAN-Summen
    • Anwendung (Analyse der Inversionsabbildung)

Algebraische Geometrie

• Elliptische Kurven
  • Normalformen in Charakteristik 2
  • Satz von HASSE
  • Satz von HONDA
  • Anwendung (Analyse der Inversionsabbildung)
  • Anwendung (Quadratwurzeln in endlichen Körpern, nur erwähnt)
  • Pseudozufallsgenerator
• Polynomgleichungssyteme
  • Relinearisierung überdefinierter Gleichungssysteme (nur erwähnt)

Analysis

• Elementare Abschätzungen
  • Die Stirling-Formel
  • Das Geburtstagsphänomen
• Ungleichungen
  • Ungleichung von HADAMARD
• Maßtheorie
  • Translationsinvariante Maße
  • Satz von FUBINI
• Spezielle Funktionen
  • RIEMANNsche Zeta-Funktion
    • elementar
    • RIEMANNsche Vermutung
  • L-Funktionen und erweiterte RIEMANNsche Vermutung
    • Anwendung (Quadratwurzeln in endlichen Körpern)
    • Anwendung (Suche nach Primitivwurzeln, nach quadratischem Nichtrest)

Wahrscheinlichkeitstheorie

• Kombinatorik
  • Die Stirling-Formel
  • Das Geburtstagsphänomen, Anwendungen:
    • Parallelstellenanalyse nach KASIKI
    • Blocklänge für Bitblock-Chiffren
    • Kollisionen beim Cipher Block Chaining
    • Hash-Funktionen
  • Anzahl von Involutionen
  • Korrelation und Autokorrelation BOOLEscher Funktionen
  • Krumme Funktionen (bent functions), Charakterisierung
  • Ein- und Ausschlussprinzip (DE MOIVRE)
• Stochastik
  • Gleichverteilte Zufallsvariablen in Gruppen
  • Formel von Bayes (Anwendung: Angriff mit bekanntem Geheimtext)
    • Anwendung: probabilistischer Primzahltest
  • Wahrscheinlichkeit einer linearen Relation
  • Hypergeometrische Verteilung, Anwendungen:
    • lineare Kryptoanalyse
    • Approximation durch Normalverteilung
    • Erfolgswahrscheinlichkeit der linearen Kryptoanalyse
  • Piling-Up-Lemma, Anwendung:
    • Lineare Kryptoanalyse
  • Probabilistische Schaltnetze
  • Run
  • Autokorrelation
  • Statistische Eigenschaften von linearen Schieberegistern
  • Erwartungswert und Varianz der linearen Komplexität
  • Korrelationsattacken
• Sprachen-Statistik
  • Statistische Geheimtextanalyse (mit Häufigkeitstabellen)
  • Zeichen-Koinzidenz
  • Autokoinzidenz
  • Koinzidenzindex eines Textes
  • Stochastische Sprachen
  • Mittlere Zeichen-Koinzidenz
  • Koinzidenzindex einer Sprache
  • Die Formel von Sinkov
  • Kryptoanalyse von Lauftext-Chiffren
  • Anagramme
  • Bigramm-Häufigkeiten
  • Entropie und Redundanz
• Anpassungstests (nicht explizit)
  • Kolonnen-Analyse bei polyalphabetischen Chiffren
  • Koinzidenzindex einer Sprache
  • Kryptoanalyse von Rotor-Maschinen

Algorithmen

• Mustersuche
  • Zeichenmuster bei monoalphabetischen Chiffren
  • Mustersuche mit Perl
  • Brechen der Bazeries-Zylinderchiffrierung
  • Kryptoanalyse von Rotor-Maschinen (negative Mustersuche)
• Endliche Automaten
  • Zustände einer Rotormaschine
  • Steuerlogik von Rotormaschinen
  • OFB-Modus
• Algebraische Algorithmen
  • Der binäre Potenzalgorithmus
    • Anwendung auf Primzahltest
  • Der EUKLIDische Algorithmus
    • Analyse
  • Ganzzahlige Elimination
  • Chinesischer Restalgorithmus
  • NEWTONsches Interpolationsverfahren
  • Lineare Kongruenzgeneratoren
  • Mehrstufige Kongruenzgeneratoren
  • BERLEKAMP-MASSEY-Algorithmus
  • BBS-Generator, siehe auch Mathematica-Programm
• BOOLEsche Abbildungen
  • Rekursive Evaluation und algebraische Normalform
  • WALSH-Transformation (auch Berechnung der Faltung)
  • Berechnung des Differenzenprofils
  • Analyse BOOLEscher Abbildungen
  • Lineare Schieberegister
    • Implementation
  • Nichtlineare Schieberegister
  • Nichtlineare Kombinierer, siehe auch hier und hier
• Verschlüsselung
  • Monoalphabetische Substitution
  • PORTAs Drehscheiben-Chiffre
  • FEISTEL-Schema
• Probabilistische Algorithmen
  • Faktorisierung bei bekanntem RSA-Schlüssel
  • probabilistische Schaltnetze
  • polynomiale Schaltnetzfamilien
  • probabilistischer Test

Komplexitätstheorie

• Analyse von Algorithmen
  • Binärer Potenzalgorithmus
  • EUKLIDischer Algorithmus
  • Chinesischer Restalgorithmus
  • Ganzzahlige Elimination
  • Rekursive Evaluation
  • WALSH-Transformation und Faltung
  • Primzahltest
• Maschinenmodelle
  • TURING-Maschinen, auch hier und hier
  • Schaltnetz-Komplexität
    • Vorteilsverdichtung
    • perfekter Zufallsgenerator
  • effizientes Vorhersageverfahren, siehe auch hier und hier
  • lineare Komplexität
    • Vergleich mit TURING-Komplexität
  • TURING-KOLMOGOROV-CHAITIN-Komplexität
• Harte und NP-vollständige Probleme
  • Binäre Polynomgleichungen
  • Kryptographische Basisfunktionen
  • NP, auch hier
  • Rucksack-Problem
    • NP-Vollständigkeit
    • Pseudozufallsgenerator
• Einweg-Funktionen
  • Informelle Definition
  • Anwendung
  • Schwierigkeit
  • Formale Definition